5.3.1 Intervallmathematik

Die zur Auflösung von reellwertigen ICSPs zum Einsatz kommende Intervallmathematik ist ein noch relativ junger Bereich der Numerischen Mathematik, der in den 60er Jahren von Moore (1969) eingeführt wurde. Die Intervallmathematik bietet mit Hilfe der Intervallarithmetik Methoden zur Berechnung der unterschiedlichsten mathematischen Probleme und Anwendungen. So können Relationen und Operationen auf den reellen Zahlen auf Intervallen dargestellt und durchgeführt werden, wodurch Fehler bzw. Ungenauigkeiten, die durch die normalerweise zum Einsatz kommenden Fließkomma-Operationen im Rechner entstehen würden, vermieden werden. Als Lösung wird stets ein paar gesicherter Schranken, obere und untere Intervallgrenzen, berechnet. Man erhält somit nicht nur Näherungslösungen, wie bei herkömmlichen numerischen Verfahren, sondern vielmehr berechnete Fehlerschranken, welche auftretende Rundungsfehler berücksichtigen (vgl. Bauch et al., 1987, S. 7):

Beispiel 5.3.1   Wird für das Ergebnis z einer Rechnung die gerundete reelle Zahl $x=0.2834$ verwendet, so ist aus dieser nicht der exakte Wert von z erkennbar. Anhand der Rundungsregeln ist allerdings bekannt, dass z zwischen $0.28335$ und $0.28345$ liegen muss, d.h. $z \in [0.28335,0.28345]$.

Zudem sind praktische Aufgabenstellungen in technischen und naturwissenschaftlichen Anwendungen häufig auf Messergebnisse angewiesen:

Beispiel 5.3.2   Da kein Messgerät völlig exakte Ergebnisse liefert, müssen Messfehler berücksichtigt werden. Lautet das Ergebnis einer Temperaturmessung $T=58.0 \pm 0.5^\circ\textup{C}$, so gilt für den exakten Wert $T^* \in [57.5,58.5]$.

Da in der Praxis häufig gerundete und gemessene Werte Verwendung finden, deren Genauigkeitsintervalle bekannt sind, ging man dazu über, Berechnungen direkt mit diesen Intervallen durchzuführen, woraus die Intervallarithmetik entstand, die sich zum umfassenden Gebiet der Intervallmathematik entwickelt hat.

Neben der traditionellen Anwendung der Intervallarithmetik, der Kompensation von Rundungsfehlern, die aufgrund der begrenzten Präzision maschineller Rechenanlagen entstehen, besteht eine weitere Anwendung in der Berechnung von Problemen, deren Daten von Natur aus in Werteintervallen angegeben werden. Dies betrifft z.B. den optimalen Drehzahlbereich eines Motors oder die statischen Belastungen von Bauwerken (vgl. Bauch et al., 1987, S. 29). In der Künstlichen Intelligenz finden sich neben der Konfigurierung viele Problemstellungen, in denen lediglich ungenaues, unscharfes Wissen vorliegt. Für Probleme dieser Art liefert die Intervallmathematik eine natürliche Sprache (vgl. Alefeld und Herzberger, 1974; Moore, 1969).