5.3.1.3 Erweiterte Intervallarithmetik

In der klassischen Intervallarithmetik ist die Division durch ein Intervall verboten, welches 0 innerhalb seiner Intervallgrenzen enthält. Um diese Fälle trotzdem korrekt behandeln zu können, muss eine erweiterte Intervallarithmetik Anwendung finden. In der Literatur gibt es verschiedene Ansätze für solche Arithmetiken. Eine Erweiterung der klassischen Intervallarithmetik ist die Kahan-Intervallarithmetik, in der Rechenvorschriften für die Behandlung der Division durch 0 definiert werden vgl. Kahan, 1968; zit. nach Laveuve, 1975; Bauch et al., 1987.

Innerhalb einer erweiterten Intervallarithmetik wird ${\sf {I^*}}(\textup{I\hspace{-0.4ex}R})$ zum Umgang mit unbeschränkten Intervallen definiert. Da Intervalle als Paare von Intervallgrenzen angegeben werden, kann formuliert werden, dass ${\sf {I^*}}(\textup{I\hspace{-0.4ex}R})$ aus dem kartesischen Produkt der Menge der unteren Grenzen ${\sf {L^*}}(\textup{I\hspace{-0.4ex}R})$ und der Menge der oberen Grenzen ${\sf {U^*}}(\textup{I\hspace{-0.4ex}R})$ gebildet wird:

$${\sf {I^*}}(\textup{I\hspace{-0.4ex}R}) = {\sf {L^*}}(\textu... ...pace{-0.4ex}R}) \times {\sf {U^*}}(\textup{I\hspace{-0.4ex}R})$$

Für $x \in {\sf {L^*}}(\textup{I\hspace{-0.4ex}R})$ gilt dabei, dass $x \in \textup{I\hspace{-0.4ex}R}$ inklusive $-\infty$, aber ohne $+\infty$, und für $x \in {\sf {U^*}}(\textup{I\hspace{-0.4ex}R})$ gilt, dass $x \in \textup{I\hspace{-0.4ex}R}$ inklusive $+\infty$, aber ohne $-\infty$ (vgl. Cleary, 1987, S. 128).

Die klassische Intervallarithmetik ist in der Kahan-Intervallarithmetik dementsprechend um die Behandlung von $\pm\infty$ erweitert. Dazu werden neben der Definition einer Division durch 0 ( $\frac{1}{0}={\pm\infty}$) alle möglichen Fälle bei der Berechnung mit $-\infty$ und $+\infty$ explizit definiert, und hierfür benötigte, zusätzliche (Hilfs-)Intervallarten und die entsprechenden Rechenregeln, die für deren Behandlung erforderlich sind, eingeführt. Das Resultat ist eine Arithmetik, die Regeln zur Berechnung von unbeschränkten, geschlossenen reellen Intervallen aufweist vgl. Bauch et al., 1987, S. 15 ff.; Laveuve, 1975, S. 236 ff..