5.3.1.2 Klassische Intervallarithmetik

Die klassische Intervallarithmetik befasst sich ausschließlich mit beschränkten, abgeschlossenen, reellen Intervallen. Auch wenn es wünschenswert wäre, daneben sowohl offene als auch halboffene Intervalle zu verarbeiten, ist dies für Standardoperationen i.d.R. nicht notwendig.^5.88 Dagegen erlauben abgeschlossene Intervalle bspw. die problemlose Verarbeitung von Punktintervallen als Sonderfall der Intervallarithmetik (vgl. Davis, 1987, S. 297).

Die Menge der beschränkten, abgeschlossenen, reellen Intervalle wird mit ${\sf {I}}(\textup{I\hspace{-0.4ex}R})$ bezeichnet (vgl. Alefeld und Herzberger, 1974). Generell existiert für jede Operation der reellen Arithmetik auf $\textup{I\hspace{-0.4ex}R}$ eine entsprechende Verallgemeinerung bzw. Erweiterung für intervallarithmetische Operationen in ${\sf {I}}(\textup{I\hspace{-0.4ex}R})$ (vgl. Bauch et al., 1987, S. 8):

Definition 5.3.3   (zweistellige Intervalloperationen)
Sei $\circ \in \{+, -, \times, \div\}$ eine zweistellige Operation für reelle Zahlen. Dann gelte für die Intervalle $I_1 = [a_1,a_2]$, $I_2 = [b_1,b_2] \in {\sf {I}}(\textup{I\hspace{-0.4ex}R})$:

$$I_1 \circ I_2 := \{x \circ y \mid a_1 \leq x \leq a_2, b_1 \leq y \leq b_2\}$$

Die Intervalldivision sei nur definiert, falls $0 \not\in I_2$.

Die allgemeine Definition 5.3.3 für intervallarithmetische Operationen geht auf die mengentheoretische Überlegung zurück, dass Summe, Differenz, Produkt oder Quotient von zwei Intervallen die Menge der Summen, Differenzen, Produkte oder Quotienten von allen Paaren der jeweils in den beiden Intervallen enthaltenen reellen Zahlen sind (vgl. Moore, 1969, S. 18). Demnach ist das Ergebnis intervallarithmetischer Grundoperationen wiederum ein Intervall, deren Eckpunkte folgendermaßen formuliert werden (vgl. Alefeld und Herzberger, 1974, S. 2):

Definition 5.3.4   (zweistellige intervallarithmetische Grundoperationen)
Es gilt

$$\begin{eqnarray*} \left[a_1,a_2\right] + [b_1,b_2] & = & [a_1+b_1,a_2+b_2], \\ ... ...2},\frac{a_2}{b_1},\frac{a_2}{b_2})], \quad 0 \not\in [b_1,b_2]. \end{eqnarray*}$$

Das Multiplikationszeichen ,,$\times$`` wurde zur besseren Übersichtlichkeit z.T. weggelassen. Neben diesen zweistelligen Grundoperationen lassen sich auch eine Reihe üblicher einstelliger Intervalloperationen definieren:

Definition 5.3.5   (einstellige Intervalloperationen)
Sei $\varphi \in \{\sqrt{\mbox{~}}, exp, ln, log, abs, sin, cos, \ldots\}$ eine stetige, einstellige Operation in $\textup{I\hspace{-0.4ex}R}$, dann ist für das Intervall $I = [a_1,a_2] \in {\sf {I}}(\textup{I\hspace{-0.4ex}R})$ durch

$$\varphi(I) := \{\varphi(x) \mid a_1 \leq x \leq a_2\}$$

eine (zugehörige) einstellige Operation in ${\sf {I}}(\textup{I\hspace{-0.4ex}R})$ erklärt.

Unter Berücksichtigung der Monotonieeigenschaften von $\varphi$ kann von dieser Definition die folgende Rechenregel wiederum deduktiv abgeleitet werden (vgl. Alefeld und Herzberger, 1974, S. 3):

Definition 5.3.6   (stetige, einstellige intervallarithmetische Operationen)
Es gilt

$$\varphi([a_1,a_2]) = [min(\varphi(x)),max(\varphi(x))], \quad a_1 \leq x \leq a_2.$$

Die natürliche Intervallerweiterung einer Funktion ist demnach definiert durch die Ersetzung der mathematischen Operatoren durch ihre intervallarithmetischen Äquivalenten. Aus den Definitionen für Intervalloperationen folgt, dass die Intervallarithmetik mit Punktintervallen $[a,a]$ auf die gewöhnliche reelle Arithmetik zurückgeführt werden kann. Die Intervallarithmetik ist daher als eine Erweiterung der reellen Arithmetik zu sehen (vgl. Moore, 1969, S. 19). Das Ziel bei der Behandlung von ICSPs ist es, die Intervallgrenzen so weit wie möglich einzuschränken, ohne mögliche Lösungen zu verlieren. Dazu wird für die Bearbeitung auf Rechnersystemen mit Fließkomma-Intervallen das Ergebnis z.B. der Operation $[a_1,a_2]+[b_1,b_2]$ bestimmt, indem die untere Schranke des Intervalls, das Ergebnis der Summe $a_1+b_1$, abgerundet, und die obere Schranke $a_2+b_2$ aufgerundet wird (vgl. Moore, 1969, S. 16). Indem bei Rechenoperationen die Intervallgrenzen auf diese Weise stets nach außen gerundet werden ist sichergestellt, dass sich die exakte Lösung innerhalb des resultierenden Intervalls befindet vgl. Bauch et al., 1987, S. 12; Hyvönen, 1992, S. 84.

Fußnoten

...^5.88

Hyvönen (1992, S. 76) empfiehlt ein pragmatisches Vorgehen: Offene Intervallgrenzen lassen sich approximieren, indem durch die Darstellung $x^+$ und $x^-$ geringfügig größere bzw. kleinere Zahlen als x repräsentiert werden. Das halboffene Intervall $]0,2]$ entspricht demnach $[0^+,2]$. Die Darstellung von $x^+$ und $x^-$ steht dabei für die nächsten, innerhalb der Präzision der aktuellen Implementierung darstellbaren Zahlen.