Die klassische Intervallarithmetik befasst sich ausschließlich mit beschränkten, abgeschlossenen, reellen Intervallen. Auch wenn es wünschenswert wäre, daneben sowohl offene als auch halboffene Intervalle zu verarbeiten, ist dies für Standardoperationen i.d.R. nicht notwendig.5.88 Dagegen erlauben abgeschlossene Intervalle bspw. die problemlose Verarbeitung von Punktintervallen als Sonderfall der Intervallarithmetik (vgl. Davis, 1987, S. 297).
Die Menge der beschränkten, abgeschlossenen, reellen Intervalle wird
mit
bezeichnet (vgl. Alefeld und Herzberger, 1974).
Generell existiert für jede Operation der reellen Arithmetik auf
eine entsprechende Verallgemeinerung bzw. Erweiterung für
intervallarithmetische Operationen in
(vgl. Bauch et al., 1987, S. 8):
Die allgemeine Definition 5.3.3 für intervallarithmetische Operationen geht auf die mengentheoretische Überlegung zurück, dass Summe, Differenz, Produkt oder Quotient von zwei Intervallen die Menge der Summen, Differenzen, Produkte oder Quotienten von allen Paaren der jeweils in den beiden Intervallen enthaltenen reellen Zahlen sind (vgl. Moore, 1969, S. 18). Demnach ist das Ergebnis intervallarithmetischer Grundoperationen wiederum ein Intervall, deren Eckpunkte folgendermaßen formuliert werden (vgl. Alefeld und Herzberger, 1974, S. 2):
Das Multiplikationszeichen ,,`` wurde zur besseren
Übersichtlichkeit z.T. weggelassen. Neben diesen zweistelligen
Grundoperationen lassen sich auch eine Reihe üblicher einstelliger
Intervalloperationen definieren:
Unter Berücksichtigung der Monotonieeigenschaften von kann
von dieser Definition die folgende Rechenregel wiederum deduktiv
abgeleitet werden (vgl. Alefeld und Herzberger, 1974, S. 3):
Die natürliche Intervallerweiterung einer Funktion ist
demnach definiert durch die Ersetzung der mathematischen Operatoren
durch ihre intervallarithmetischen Äquivalenten. Aus den Definitionen
für Intervalloperationen folgt, dass die Intervallarithmetik mit
Punktintervallen auf die gewöhnliche reelle Arithmetik
zurückgeführt werden kann. Die Intervallarithmetik ist daher als eine
Erweiterung der reellen Arithmetik zu sehen
(vgl. Moore, 1969, S. 19). Das Ziel bei der
Behandlung von ICSPs ist es, die Intervallgrenzen so
weit wie möglich einzuschränken, ohne mögliche Lösungen zu verlieren.
Dazu wird für die Bearbeitung auf Rechnersystemen mit
Fließkomma-Intervallen das Ergebnis z.B. der Operation
bestimmt, indem die untere Schranke des
Intervalls, das Ergebnis der Summe
, abgerundet, und die
obere Schranke
aufgerundet wird
(vgl. Moore, 1969, S. 16). Indem bei
Rechenoperationen die Intervallgrenzen auf diese Weise stets nach
außen gerundet werden ist sichergestellt, dass sich die exakte Lösung
innerhalb des resultierenden Intervalls befindet
vgl. Bauch et al., 1987, S. 12;
Hyvönen, 1992, S. 84.