5.3.1.1 Intervalle

Ein Intervall ist definiert als ein geordnetes Paar reeller Zahlen $[a_1,a_2]$ mit $a_1 \leq a_2$. Wobei das Intervall $[a,a]$ äquivalent mit der reellen Zahl $a$ ist und deshalb auch Punktintervall (vgl. Alefeld und Herzberger, 1974; Bauch et al., 1987) oder entartetes Intervall (vgl. Moore, 1969) genannt wird. Die Werte dieser Tupel stehen jeweils für die untere und obere Schranke eines Intervalls und repräsentieren somit die Teilmenge der reellen Zahlen, die sich innerhalb dieser Grenzen befinden (vgl. Moore, 1969, S. 15):

Definition 5.3.2   (Intervalle)
Das Intervall $I_1 = [a_1,a_2]$ besteht aus der Menge der reellen Zahlen $x \in \textup{I\hspace{-0.4ex}R}$ mit $a_1 \leq x \leq a_2$.

Intervalle sind demnach zusammenhängende Teilmengen in $\textup{I\hspace{-0.4ex}R}$. Es wird zwischen abgeschlossenen bzw. kompakten, offenen und halboffenen Intervallen unterschieden (vgl. Bronstein et al., 1996; Embacher und Oberhuemer, 2003). Bei einem abgeschlossenem Intervall $[a_1,a_2]$ gehören die Randpunkte $a_1$ und $a_2$ zum Intervall dazu:

$$[a_1,a_2]:= \{x \in \textup{I\hspace{-0.4ex}R}\mid a_1 \leq x \leq a_2 \}$$

Während bei einem offenen Intervall $]a_1,a_2[$ die Randpunkte nicht zum Intervall dazu zählen:

$$]a_1,a_2[ := \{x \in \textup{I\hspace{-0.4ex}R}\mid a_1 < x < a_2 \}$$

Halboffene Intervalle $]a_1,a_2]$ und $[a_1,a_2[$ sind jeweils zu einer Seite offen und zur anderen Seite abgeschlossen:

$$\begin{eqnarray*} {]}a_1,a_2{]} & := & \{x \in \textup{I\hspace{-0.4ex}R}\mid a_... ... := & \{x \in \textup{I\hspace{-0.4ex}R}\mid a_1 \leq x < a_2 \} \end{eqnarray*}$$

Weiterhin können Intervalle nach oben oder nach unten unbeschränkt sein, wie z.B. die folgenden Intervalle:

$$\begin{eqnarray*} {]}{-\infty},a{]} & := & \{x \in \textup{I\hspace{-0.4ex}R}\mi... ...= & \{x \in \textup{I\hspace{-0.4ex}R}\mid a \leq x < +\infty \} \end{eqnarray*}$$

Die Menge der reellen Zahlen $\textup{I\hspace{-0.4ex}R}$ wird demnach auch mit $]{-\infty},{+\infty}[$ bezeichnet.^5.87

Fußnoten

...^5.87

Anstatt $]a_1,a_2[$, $[a_1,a_2[$, $]a_1,a_2]$ wird in vorwiegend älterer Literatur auch $(a_1,a_2)$, $[a_1,a_2)$, $(a_1,a_2]$ geschrieben. Die modernere Schreibweise mit umgedrehten [ ] zur Kennzeichnung offener Intervallenden hat sich durchgesetzt, um Verwechslungen mit dem geordneten Paar $(a_1,a_2)$ der beiden Zahlen $a_1$ und $a_2$ auszuschließen (vgl. Bronstein et al., 1996, S. 226).